next up previous contents
Next: Интегрирование на уровне двухполюсников Up: Динамический анализ линейных цепей Previous: Дискретизация по времени   Contents

Метод Эйлера

        

При анализе переходных процессов цепи с несколькими реактивными элементами необходимо для каждого момента времени $ t_{j+1}$ решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера можно рассмотреть дифференциальное уравнение первого порядка, которое содержит кроме переменной $ x$ ещё и производную первого порядка от этой переменной

$\displaystyle x^{'}=\frac{dx}{dt}=\lambda x.$ (2.3)

Для дискретного вычисления значения $ x_{j+1}$ в момент времени $ t_{j+1}$ необходимо определить производную $ \dfrac{dx}{dt}$ . Для этого можно воспользоваться методом конечных приращений Эйлера.

Figure: Определение тангенса угла наклона кривой в методе Эйлера
\begin{figure}\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\par
\begin{picture}(...
...ut(1,1.5){\color{blue}\line(5,4){2}}
\end{picture}\end{center}\par\end{figure}

Функцию $ x(t)$ между точками $ t_{j}$ и $ t_{j+1}$ можно аппроксимировать прямой линией (рис.2.9). Наклон прямой

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{x_{j+1}-x_{j}}{t_{j+1}-t_{j}}=\frac{x_{j+1}-x_{j}}{h}.$ (2.4)

Уравнение (2.4) описывает производную как в момент времени $ t_{j}$ :

$\displaystyle x^{'}(t_{j})=\frac{x_{j-1}-x_{j}}{h},$ (2.5)

так и в момент времени $ t_{j+1}$ :

$\displaystyle x^{'}(t_{j+1})=\frac{x_{j+1}-x_{j}}{h}.$ (2.6)

При аппроксимации уравнение (2.5) примет вид:

$\displaystyle x_{j+1}=x_{j}+hx^{'}(t_{j}).$ (2.7)

Формула (2.7) известна как прямой метод Эйлера. Обратный метод Эйлера аналогичен прямому, но есть отличие в аппроксимации для производной (2.6). Такая аппроксимация даёт формулу обратного метода Эйлера:

$\displaystyle x_{j+1}=x_{j}+hx^{'}(t_{j+1}).$ (2.8)



Subsections

Eugene Misnik 2005-07-29