next up previous contents
Next: Статический анализ нелинейных цепей Up: Метод Эйлера Previous: Метод Эйлера   Contents

Интегрирование на уровне двухполюсников

        

Метод Эйлера можно использовать для цепей, содержащих ёмкости и индуктивности.Для расчёта необходимы уравнения связи между последующими $ u_{j+1},\, i_{j+1}$ и предыдущими $ u_{j},\, i_{j}$ значениями напряжений и токов.

Составив уравнение связи для ёмкости с учётом уравнения двухполюсника $ i=C\dfrac{du}{dt}$ (при $ C=const$ ) рассчитываеися в соответствии с (2.4) ток, протекающий в момент времени

$\displaystyle i_{j+1}=C\dfrac{u_{j+1}-u_{j}}{h}=\dfrac{C}{h}u_{j+1}-\dfrac{C}{h}u_{j}.$ (2.9)

Первый член уравнения характеризует ток в проводимости $ G=\dfrac{C}{h}$ при напряжении $ u_{j+1}$ . Второй член уравнения можно интерпретировать как собственный ток идеального источника тока. Схема замещения для уравнения (2.9) приведена на рис.2.10

Figure: Дискретная токовая модель ёмкости в неявном методе Эйлера
\includegraphics[%
scale=0.75]{discret-capacity2.ps}

Эту схему можно называть дискретной моделью токового контура (discrete circuit model) [3].

При анализе электрических цепей с ёмкостями методом узловых потенциалов необходимо в ходе решения узловых уравнений вычислить напряжение ветви $ u_{j+1}$ в момент $ t_{j+1}$ . Затем определяется ток источника $ I_{q}$ для следующего шага вычислений.

Таблица для ёмкости в системе узловых потенциалов выглядит так:


Table: Ёмкость в системе узловых потенциалов
Ёмкость Матрица узлов Вектор токов


Попробуем сформировать дискретную модель токового контура для индуктовности $ L=const.$ С учётом уравнения двухполюсника $ u=L\dfrac{di}{dt}$ в момент времени $ t_{j+1}$ напряжение на нём будет равно

$\displaystyle u_{j+1}=L\dfrac{i_{j+1}-i_{j}}{h}=\dfrac{L}{h}i_{j+1}-\dfrac{L}{h}i_{j}.$ (2.10)

Первый член в правой части уравнения характеризует падение напряжения, вызванное током $ i_{j+1}$ в активном сопротивлении $ R=\dfrac{L}{h}$ , а второй член может быть интерпретирован как собственное напряжение идеального источника напряжения (рис.2.11). Чтобы использовать метод узловых потенциалов для расчёта схемы на рис.2.11 , надо заменить линейный источник напряжения линейным источником тока, у которого

$\displaystyle G=\dfrac{1}{R}=\dfrac{h}{L},$ (2.11)

$\displaystyle I_{q}=\dfrac{-u_{q}}{R}=i_{j}.$ (2.12)

Если методом узловых потенциалов анализируется цепь с индуктивностью, то после вычисления узлового напряжения в момент $ t_{j+1}$ определяется напряжение в ветви $ u_{j+1}$ , а затем ток

$\displaystyle i_{j+1}=\dfrac{h}{L}u_{j+1}+i_{j},$ (2.13)

Figure: Схема замещения индуктивности и дискретная токовая модель для интуктивности, используемая в неявном методе Эйлера
\includegraphics[%
scale=0.75]{inductor-trans.ps}

являющиййся собственным током источника для дальнейших шагов вычислений.


next up previous contents
Next: Статический анализ нелинейных цепей Up: Метод Эйлера Previous: Метод Эйлера   Contents
Eugene Misnik 2005-07-29