next up previous contents
Next: Диод Up: Статический анализ нелинейных цепей Previous: Решение проблемы   Contents

Алгоритм Ньютона-Рафсона

        

Алгоритм Ньютона-Рафсона был введён как один из методов отыскания корней полиномов. Он хорошо известен, широко используется и имеет квадратичную сходимость, если начальное приближение близко к точному решению.

При решении уравнения $ f(x)=0$ в скалярном случае итерации Ньютона-Рафсона опредеояется выражением

$\displaystyle x^{k+1}=x^{k}+\Delta x^{k}=x^{k}-\dfrac{f(x^{k})}{f^{'}(x^{k})}.$ (2.14)

Номер итерации указывается верхним индексом.

Рассмотрим пример простой нелинейной статической цепи (рис.2.12).

Figure: Пример
нелинейной цепи
0.45
\includegraphics[%
scale=0.75]{diode-sampe-schema.ps}

Из уравнений $ I_{D}=\dfrac{E-V_{D}}{R}$ и $ I_{D}=I_{s}(\exp\dfrac{V_{D}}{V_{T}}-1)$ получается

$\displaystyle V_{D}=E-RI_{s}\left(\exp\dfrac{V_{D}}{V_{T}}-1\right).$ (2.15)

Для решения уравнения можно воспользоваться методом итераций. Для этого можно рассмотреть принцип итераций, показанный на рис.2.13.

Figure: Принцип итераций Ньютона-Рафсона
\begin{figure}\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\par
\begin{picture}(...
...}
\par
\put(3.85,2.55){\circle{0.2}}
\end{picture}\end{center}\par\end{figure}

Рассмотрим графическое решение нахождения искомой точки. За основу берутся два параметра: начальная точка $ V_{D}^{0}$ и точность расчёта $ \varepsilon$ . Проводим вертикальную черту из точки $ V_{D}^{0}$ до пересечения с кривой характеристики диода. Через полученную точку пересечения проведём касательеую к заданной кривой, которая в свою очередь пересечёт нагрузочную прямую $ I_{D}=\dfrac{E-V_{D}}{R}$ . Полученная точка $ V_{D}^{1}$ будет следующей точкой итерации. Через неё опять проведём вертикальную черту до пересечения с кривой. Вновь через полученную точку пересечения проведём касательную к кривой, которая в свою очередь пересечёт нагрузочную прямую. Следующий шаг итерации повторяет ранее описанный, и так до тех пор, пока результат ошибки будет меньше или равен $ \varepsilon.$

На рис.2.14

Figure: Касательная к функции
\begin{floatingfigure}{0.5\columnwidth}%\setlength{\unitlength}{1cm}
\par
\be...
...(1,0){1.65}}
\par
\put(1.2,0.6){$\alpha$}
\end{picture}\par
\end{floatingfigure}
показаны функции $ y=f(x)$ и $ y=ax+b$ . Значение $ a$ равно $ \tan\alpha$ и называется угловым коэффициентом. Значение $ a$ также равно производной функции $ f$ в точке $ x_{0}$ : $ a=f^{'}(x_{0}).$ Тогда $ y=f^{'}(x_{0})*x+b$ . Точка касания прямой и функции $ f(x)$ принадлежит этой функции и поэтому координаты удовлетворяют уравнению касательной $ f(x_{0})=f^{'}(x_{0})*x_{0}+b.$ Отсюда

$\displaystyle y=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})*(x-x_{0}).$ (2.16)

или

$\displaystyle y=a_{0}x+y_{0}-a_{0}x_{0},$

где $ a_{0}=\dfrac{\partial y}{\partial x}\mid_{x=x_{0}}$ .

Попробуем составить соответствие для рисунков 2.13 и 2.14:

$\displaystyle a_{0}=\dfrac{\partial y}{\partial x}\mid_{x=x_{0}}\equiv G_{D}^{0}=\dfrac{I_{s}}{V_{T}}\exp\left(\dfrac{V_{D}^{0}}{V_{T}}\right),$

где $ G_{D}^{0}$ и $ V_{D}^{0}$ - значения на начальном шаге итерации. Заменив уравнение 2.15 уравнением 2.16 для первого шага итерации получим $ I_{D}^{1}=G_{D}^{0}V_{D}^{1}+I_{D}^{0}-G_{D}^{0}V_{D}^{0}$ , а также, зная, что $ I_{D}^{1}=\dfrac{E-V_{D}^{1}}{R}$ напряжение на диоде после первого шага итерации будет равно:

$\displaystyle V_{D}^{1}=\dfrac{\dfrac{E}{R}-I_{D}^{0}+G_{D}^{0}V_{D}^{0}}{\dfrac{1}{R}+G_{D}^{0}}.$

Исходя из этого, для схемы, приведённой на рис.2.12, напряжение на диоде для каждого шага итерации можно выразить как:

$\displaystyle V_{D}^{m+1}=\dfrac{\dfrac{E}{R}-I_{D}^{m}+G_{D}^{m}V_{D}^{m}}{\dfrac{1}{R}+G_{D}^{m}}.$ (2.17)


next up previous contents
Next: Диод Up: Статический анализ нелинейных цепей Previous: Решение проблемы   Contents
Eugene Misnik 2005-07-29