next up previous contents
Next: Линейные многополюсники Up: Линейные цепи постоянного тока Previous: Линейные цепи постоянного тока   Contents

Линейные двухполюсники

        

Линейными двухполюсными цепями называют цепи, содержащие только такие двухполюсниками, вольт-амперная характеристика (ВАХ) которых есть прямая линия. Для постоянного тока - это активное сопротивление

$ R=\frac{U}{I}=const$ или проводимость $ G=\frac{I}{U}=const$ , где $ U=const$ - идеальный источник напряжения и $ I=const$ - идеальный источик тока. Цепи, содержащие такие двухполюсные элементы, называют линейными.

Ниже приводится пример цепи постоянного тока с шестью ветвями1.1 и тремя узлами1.2 (рис. 1.1):

Figure: Пример цепи постоянного тока
\includegraphics[scale=0.75]{current3.ps}

Методом узловых потенциалов составим систему уравнений для вышеприведённой цепи:

\begin{displaymath}\begin{cases}{\begin{array}{c} I_{2}+I_{3}-I_{1}=0\\ I_{4}+I_{5}-I_{3}=0\\ I_{6}-I_{5}=0\end{array}}\end{cases}\end{displaymath} (1.1)

Если заменить ток в каждой ветви, заменив $ I=U*R$ , получим:

\begin{displaymath}\begin{cases}{\begin{array}{c} G_{2}U_{2}+G_{3}U_{3}-G_{1}U_{...
...}-G_{3}U_{3}=0\\ G_{6}U_{6}-G_{5}U_{5}=0\end{array}}\end{cases}\end{displaymath} (1.2)

Напряжение в каждой ветви можно выразить через узловые напряжения:

$ U_{1}=-U_{1,0}$ ; $ U_{2}=U_{1,0}$ ; $ U_{3}=U_{1,0}-U_{2,0}$ ; $ U_{4}=U_{2,0}$ ; $ U_{5}=U_{2,0}-U_{3,0}$ ; $ U_{6}=U_{3,0}$ .

Подставляя полученные выражения в узловые уравнения, получаем:

\begin{displaymath}\begin{cases}{\begin{array}{c} (G_{1}+G_{2}+G_{3})U_{1,0}-G_{...
...0\\ -G_{5}U_{2,0}+(G_{5}+G_{6})U_{3,0}=0\end{array}}\end{cases}\end{displaymath} (1.3)

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме:

$\displaystyle \left\Vert \begin{array}{ccc} G_{1}+G_{2}+G_{3} & -G_{3}\\ -G_{3}...
...ay}\right\Vert =\left\Vert \begin{array}{c} I_{q}\\ 0\\ 0\end{array}\right\Vert$ (1.4)

Матрицу, содержащую проводимости, называют матрицей узловых проводимостей. Для двухполюсных цепей матрица симметрична. Структура матрицы подчиняется определённым правилам[1]: в каждом элементе главной диагонали матрицы стоит сумма проводимостей, которые одним своим полюсом соединены с соответствующим узлом. Во всех остальных элементах размещается отрицательная сумма тех проводимостей, которые расположены между узлами. Матрица с одним столбцом токов источников строится также согласно строгим правилам: ток $ I_{q}$ источника получает отрицательный знак для того узла, из которого он ``выходит'', и положительный для узла, в который он ``входит''.



Eugene Misnik 2005-07-29